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可持久化平衡树

Split-Merge Treap

对于无旋 Treap 的提示¶

看楼上的 Treap 词条

OI 常用的可持久化平衡树 一般就是 可持久化无旋转 Treap 所以推荐首先学习楼上的 无旋转 Treap

思想/做法¶

我们来看看旋转的 Treap，为什么不能可持久化呢？

如果带旋转，那么就会 破环原有的父子关系 ，破环原有的路径和树形态，这是可持久化无法接受的。

如果把 Treap 变为非旋转的，我们发现可以通过可持久化 Merge 和 Split 操作就可以完成可持久化。

「一切可支持操作都可以通过 Merge Split Newnode Build 完成」，而 Build 操作只用于建造无需理会， Newnode （新建节点）就是用来可持久化的工具。

我们来观察一下 Merge 和 Split ，我们会发现它们都是由上而下的操作！

因此我们完全可以 参考线段树的可持久化操作 对它进行可持久化。

可持久化操作¶

可持久化 是对 数据结构 的一种操作，即保留历史信息，使得在后面可以调用之前的历史版本。

对于 可持久化线段树 来说，每一次新建历史版本就是把 沿途的修改路径 复制出来

那么对可持久化 Treap（目前国内 OI 常用的版本）来说：

在复制一个节点 $X_{a}$ ( $X$ 节点的第 $a$ 个版本）的新版本 $X_{a+1}$ ( $X$ 节点的第 $a+1$ 个版本）以后：

如果某个儿子节点 $Y$ 不用修改信息，那么就把 $X_{a+1}$ 的指针直接指向 $Y_{a}$ ( $Y$ 节点的第 $a$ 个版本）即可。
反之，如果要修改 $Y$ ，那么就在 递归到下层 时新建 $Y_{a+1}$ ( $Y$ 节点的第 $a+1$ 个版本）这个新节点用于 存储新的信息 ，同时把 $X_{a+1}$ 的指针指向 $Y_{a+1}$ ( $Y$ 节点的第 $a+1$ 个版本）。

可持久化¶

需要的东西：

一个 struct 数组存 每个节点 的信息（一般叫做 tree 数组）；（当然写 指针版 平衡树的大佬就可以考虑不用这个数组了）
一个 根节点数组 ，存每个版本的树根，每次查询版本信息时就从 根数组存的节点 开始；
split() 分裂 从树中分裂出两棵树
merge() 合并 把两棵树按照随机权值合并
newNode() 新建一个节点
build() 建树

Split¶

对于 分裂操作 ，每次分裂路径时 新建节点 指向分出来的路径，用 std::pair 存新分裂出来的两棵树的根。

split(x,k) 返回一个 std::pair ;

表示把 $_x$ 为根的树的前 $k$ 个元素放在 一棵树 中，剩下的节点构成在另一棵树中，返回这两棵树的根（first 是第一棵树的根，second 是第二棵树的）。

如果 $x$ 的 左子树 的 $key ≥ k$ ，那么 直接递归进左子树 ，把左子树分出来的第二颗树和当前的 x 右子树 合并。
否则递归 右子树 。

static std::pair<int, int> _split(int _x, int k) {
  if (_x == 0)
    return std::make_pair(0, 0);
  else {
    int _vs = ++_cnt;  // 新建节点（可持久化的精髓）
    _trp[_vs] = _trp[_x];
    std::pair<int, int> _y;
    if (_trp[_vs].key <= k) {
      _y = _split(_trp[_vs].leaf[1], k);
      _trp[_vs].leaf[1] = _y.first;
      _y.first = _vs;
    } else {
      _y = _split(_trp[_vs].leaf[0], k);
      _trp[_vs].leaf[0] = _y.second;
      _y.second = _vs;
    }
    _trp[_vs]._update();
    return _y;
  }
}

Merge¶

int merge(x,y) 返回 merge 出的树的根。

同样递归实现。如果 x 的随机权值 > y 的随机权值 ，则 $merge(x_{rc},y)$ ，否则 $merge(x,y_{lc})$ 。

static int _merge(int _x, int _y) {
  if (_x == 0 || _y == 0)
    return _x ^ _y;
  else {
    if (_trp[_x].fix < _trp[_y].fix) {
      _trp[_x].leaf[1] = _merge(_trp[_x].leaf[1], _y);
      _trp[_x]._update();
      return _x;
    } else {
      _trp[_y].leaf[0] = _merge(_x, _trp[_y].leaf[0]);
      _trp[_y]._update();
      return _y;
    }
  }
}

Luogu P3835 可持久化平衡树¶

题目背景¶

本题为题目 普通平衡树 的可持久化加强版。

数据已经经过强化

题目描述¶

您需要写一种数据结构（可参考题目标题），来维护一些数，其中需要提供以下操作（对于各个以往的历史版本）：

插入 x 数
删除 x 数（若有多个相同的数，因只删除一个，如果没有请忽略该操作）
查询 x 数的排名（排名定义为比当前数小的数的个数 + 1。若有多个相同的数，因输出最小的排名）
查询排名为 x 的数
求 x 的前驱（前驱定义为小于 x，且最大的数，如不存在输出 -2147483647）
求 x 的后继（后继定义为大于 x，且最小的数，如不存在输出 2147483647）

和原本平衡树不同的一点是，每一次的任何操作都是基于某一个历史版本，同时生成一个新的版本（操作 3, 4, 5, 6 即保持原版本无变化）。

每个版本的编号即为操作的序号（版本 0 即为初始状态，空树）

输入格式¶

第一行为 n，表示操作的个数，下面 n 行每行有两个数 opt 和 x，opt 表示操作的序号 $(1 \leq x \leq le6)$ 。

输出格式¶

对于操作 3,4,5,6 每行输出一个数，表示对应答案。

题解简述¶

就是 普通平衡树 一题的可持久化版，操作和该题类似……

只是使用了可持久化的 merge 和 split 操作