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欧拉图

定义

通过图中所有边恰好一次且行遍所有顶点的通路称为欧拉通路。

通过图中所有边恰好一次且行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。

具有欧拉回路的无向图称为欧拉图。

具有欧拉通路但不具有欧拉回路的无向图称为半欧拉图。

有向图也可以有类似的定义。

非形式化地讲，欧拉图就是从任意一个点开始都可以一笔画完整个图，半欧拉图必须从某个点开始才能一笔画完整个图。

性质

欧拉图中所有顶点的度数都是偶数。

若 $G$ 是欧拉图，则它为若干个边不重的圈的并。

若 $G$ 是半欧拉图，则它为若干个边不重的圈和一条简单路径的并。

判别法

$G$ 是欧拉图当且仅当 $G$ 是连通的且没有奇度顶点。

$G$ 是半欧拉图当且仅当 $G$ 中恰有两个奇度顶点。

求欧拉回路或欧拉路

例题： Luogu P2731 骑马修栅栏

题面

给定一张有 500 个顶点的无向图，求这张图的一条欧拉路或欧拉回路。如果有多组解，输出最小的那一组。

在本题中，欧拉路或欧拉回路不需要经过所有顶点。

边的数量 m 满足 $1\leq m \leq 1024$ 。

Fleury 算法

也称避桥法，一个偏暴力的算法。算法流程为每次选择下一条边的时候优先选择不是桥的边。

一个广泛使用但是错误的实现方式是先 Tarjan 预处理桥边，然后再 DFS 避免走桥。但是由于走图过程中边会被删去，一些非桥边会变为桥边导致错误。最简单的实现方法是每次删除一条边之后暴力跑一遍 Tarjan 找桥，时间复杂度是 $\Theta(m(n+m))=\Theta(m^2)$ 。复杂的实现方法要用到动态图等，实用价值不高。

在解决本题的时候只需要再贪心就好，不过由于复杂度不对，还是看更优的算法吧。

逐步插入回路法（Hierholzer 算法）

算法流程为从一条回路开始，每次任取一条目前回路中的点，将其替换为一条简单回路，以此寻找到一条欧拉回路。如果从路开始的话，就可以寻找到一条欧拉路。

Hierholzer 算法的暴力实现如下：

$$\begin{array}{ll} 1 & \textbf{Input. } \text{The edges of the graph } e , \text{ where each element in } e \text{ is } (u, v) \\ 2 & \textbf{Output. } \text{The vertex of the Euler Road of the input graph}.\\ 3 & \textbf{Method. } \\ 4 & \textbf{Function } \text{Hierholzer } (v) \\ 5 & \qquad circle \gets \text{Find a Circle in } e \text{ Begin with } v \\ 6 & \qquad \textbf{if } circle=\varnothing \\ 7 & \qquad\qquad \textbf{return } v \\ 8 & \qquad e \gets e-circle \\ 9 & \qquad \textbf{for} \text{ each } v \in circle \\ 10& \qquad\qquad v \gets \text{Hierholzer}(v) \\ 11& \qquad \textbf{return } circle \\ 12& \textbf{Endfunction}\\ 13& \textbf{return } \text{Hierholzer}(\text{any vertex}) \end{array}$$

这个算法的时间复杂度约为 $O(nm+m^2)$ 。实际上还有复杂度更低的实现方法，就是将找回路的 Dfs 和 Hierholzer 的递归合并，边找回路边 Hierholzer，保存答案可以使用 stack<int> ，因为如果找的不是回路的话必须将那一部分放在最后。

如果需要输出字典序最小的欧拉路或欧拉回路的话，因为需要将边排序，时间复杂度是 $\Theta(n+m\log m)$ （计数排序或者基数排序可以优化至 $\Theta(n+m)$ ）。如果不需要排序，时间复杂度是 $\Theta(n+m)$ 。

对于这道例题的一个代码实现如下。注意，不能使用邻接矩阵存图，否则时间复杂度会退化为 $\Theta(nm)$ 。由于需要将边排序，建议使用前向星或者 vector 存图。示例代码使用 vector。

代码实现

#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <stack>
#include <vector>
using namespace std;

struct edge {
  int to;
  bool exists;
  int revref;

  bool operator<(const edge& b) const { return to < b.to; }
};

vector<edge> beg[505];
int cnt[505];

const int dn = 500;
stack<int> ans;

void Hierholzer(int x) {  // 关键函数
  for (int& i = cnt[x]; i < (int)beg[x].size();) {
    if (beg[x][i].exists) {
      edge e = beg[x][i];
      beg[x][i].exists = 0;
      beg[e.to][e.revref].exists = 0;
      ++i;
      Hierholzer(e.to);
    } else {
      ++i;
    }
  }
  ans.push(x);
}

int deg[505];
int reftop[505];

int main() {
  for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
    beg[i].reserve(1050);  // vector 用 reserve 避免动态分配空间，加快速度
  }

  int m;
  scanf("%d", &m);
  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    int a, b;
    scanf("%d%d", &a, &b);
    beg[a].push_back((edge){b, 1, 0});
    beg[b].push_back((edge){a, 1, 0});
    ++deg[a];
    ++deg[b];
  }

  for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
    if (!beg[i].empty()) {
      sort(beg[i].begin(), beg[i].end());  // 为了要按字典序贪心，必须排序
    }
  }

  for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
    for (int j = 0; j < (int)beg[i].size(); ++j) {
      beg[i][j].revref = reftop[beg[i][j].to]++;
    }
  }

  int bv = 0;
  for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
    if (!deg[bv] && deg[i]) {
      bv = i;
    } else if (!(deg[bv] & 1) && (deg[i] & 1)) {
      bv = i;
    }
  }

  Hierholzer(bv);

  while (!ans.empty()) {
    printf("%d\n", ans.top());
    ans.pop();
  }
}

应用

有向欧拉图可用于计算机译码。

设有 $m$ 个字母，希望构造一个有 $m^n$ 个扇形的圆盘，每个圆盘上放一个字母，使得圆盘上每连续 $n$ 位对应长为 $n$ 的符号串。转动一周（ $m^n$ 次）后得到由 $m$ 个字母产生的长度为 $n$ 的 $m^n$ 个各不相同的符号串。

构造如下有向欧拉图：

设 $S = \{a_1, a_2, \cdots, a_m\}$ ，构造 $D=<V, E>$ ，如下：

$V = \{a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}} |a_i \in S, 1 \leq i \leq n - 1 \}$

$E = \{a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}|a_j \in S, 1 \leq j \leq n\}$

规定 $D$ 中顶点与边的关联关系如下：

顶点 $a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}$ 引出 $m$ 条边： $a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}a_r, r=1, 2, \cdots, m$ 。

边 $a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}$ 引入顶点 $a_{j_2}a_{j_3}\cdots a_{j_{n}}$ 。

这样的 $D$ 是连通的，且每个顶点入度等于出度（均等于 $m$ ），所以 $D$ 是有向欧拉图。

任求 $D$ 中一条欧拉回路 $C$ ，取 $C$ 中各边的最后一个字母，按各边在 $C$ 中的顺序排成圆形放在圆盘上即可。

练习题

「洛谷 1341」无序字母对

「洛谷 2731」骑马修栅栏

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