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最短路

定义

（还记得这些定义吗？在阅读下列内容之前，请务必了解 图论相关概念 中的基础部分。）

• 路径
• 最短路
• 有向图中的最短路、无向图中的最短路
• 单源最短路、每对结点之间的最短路

性质

对于边权为正的图，任意两个结点之间的最短路，不会经过重复的结点。

对于边权为正的图，任意两个结点之间的最短路，不会经过重复的边。

对于边权为正的图，任意两个结点之间的最短路，任意一条的结点数不会超过 $n$ ，边数不会超过 $n-1$ 。

Floyd 算法

是用来求任意两个结点之间的最短路的。

复杂度比较高，但是常数小，容易实现。（我会说只有三个 for 吗？）

适用于任何图，不管有向无向，边权正负，但是最短路必须存在。（不能有个负环）

实现

我们定义一个数组 f[k][x][y] ，表示只允许经过结点 $1$ 到 $k$ ，结点 $x$ 到结点 $y$ 的最短路长度。

很显然， f[n][x][y] 就是结点 $x$ 到结点 $y$ 的最短路长度。

我们来考虑怎么求这个数组

f[0][x][y] ：边权，或者 $0$ ，或者 $+\infty$ （ f[0][x][x] 什么时候应该是 $+\infty$ ？）

f[k][x][y] = min(f[k-1][x][y], f[k-1][x][k]+f[k-1][k][y])

上面两行都显然是对的，然而这个做法空间是 $O(N^3)$ 。

但我们发现数组的第一维是没有用的，于是可以直接改成 f[x][y] = min(f[x][y], f[x][k]+f[k][y]) ，

for (k = 1; k <= n; k++) {
  for (i = 1; i <= n; i++) {
    for (j = 1; j <= n; j++) {
      f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k][j]);
    }
  }
}

时间复杂度是 $O(N^3)$ ，空间复杂度是 $O(N^2)$ 。

应用

给一个正权无向图，找一个最小权值和的环。

首先这一定是一个简单环。

想一想这个环是怎么构成的。

考虑环上编号最大的结点 u。

f[u-1][x][y] 和 (u,x), (u,y）共同构成了环。

在 Floyd 的过程中枚举 u，计算这个和的最小值即可。

$O(n^3)$ 。

已知一个有向图中任意两点之间是否有连边，要求判断任意两点是否连通。

该问题即是求 图的传递闭包 。

我们只需要按照 Floyd 的过程，逐个加入点判断一下。

只是此时的边的边权变为 $1/0$ ，而取 $\min$ 变成了 与 运算。

再进一步用 bitset 优化，复杂度可以到 $O(\frac{n^3}{w})$ 。

// std::bitset<SIZE> f[SIZE];
for (k = 1; k <= n; k++)
  for (i = 1; i <= n; i++)
    if (f[i][k]) f[i] = f[i] & f[k];

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Bellman-Ford 算法

一种基于松弛（relax）操作的最短路算法。

支持负权。

能找到某个结点出发到所有结点的最短路，或者报告某些最短路不存在。

在国内 OI 界，你可能听说过的“SPFA”，就是 Bellman-Ford 算法的一种实现。（优化）

实现

假设结点为 $S$ 。

先定义 $dist(u)$ 为 $S$ 到 $u$ （当前）的最短路径长度。

$relax(u,v)$ 操作指： $dist(v) = min(dist(v), dist(u) + edge\_len(u, v))$ .

$relax$ 是从哪里来的呢？

三角形不等式： $dist(v) \leq dist(u) + edge\_len(u, v)$ 。

证明：反证法，如果不满足，那么可以用松弛操作来更新 $dist(v)$ 的值。

Bellman-Ford 算法如下：

while (1) for each edge(u, v) relax(u, v);

当一次循环中没有松弛操作成功时停止。

每次循环是 $O(m)$ 的，那么最多会循环多少次呢？

答案是 $\infty$ ！（如果有一个 $S$ 能走到的负环就会这样）

但是此时某些结点的最短路不存在。

我们考虑最短路存在的时候。

由于一次松弛操作会使最短路的边数至少 $+1$ ，而最短路的边数最多为 $n-1$ 。

所以最多执行 $n-1$ 次松弛操作，即最多循环 $n-1$ 次。

总时间复杂度 $O(NM)$ 。 （对于最短路存在的图）

relax(u, v) {
  dist[v] = min(dist[v], dist[u] + edge_len(u, v));
}
for (i = 1; i <= n; i++) {
  dist[i] = edge_len(S, i);
}
for (i = 1; i < n; i++) {
  for each edge(u, v) {
    relax(u, v);
  }
}

注：这里的 $edge\_len(u, v)$ 表示边的权值，如果该边不存在则为 $+\infty$ ， $u=v$ 则为 $0$ 。

应用

给一张有向图，问是否存在负权环。

做法很简单，跑 Bellman-Ford 算法，如果有个点被松弛成功了 $n$ 次，那么就一定存在。

如果 $n-1$ 次之内算法结束了，就一定不存在。

队列优化：SPFA

即 Shortest Path Faster Algorithm。

很多时候我们并不需要那么多无用的松弛操作。

很显然，只有上一次被松弛的结点，所连接的边，才有可能引起下一次的松弛操作。

那么我们用队列来维护“哪些结点可能会引起松弛操作”，就能只访问必要的边了。

q = new queue();
q.push(S);
in_queue[S] = true;
while (!q.empty()) {
  u = q.pop();
  in_queue[u] = false;
  for each edge(u, v) {
    if (relax(u, v) && !in_queue[v]) {
      q.push(v);
      in_queue[v] = true;
    }
  }
}

虽然在大多数情况下 SPFA 跑得很快，但其最坏情况下的时间复杂度为 $O(NM)$ ，将其卡到这个复杂度也是不难的，所以考试时要谨慎使用（在没有负权边时最好使用 Dijkstra 算法，在有负权边且题目中的图没有特殊性质时，若 SPFA 是标算的一部分，题目不应当给出 Bellman-Ford 算法无法通过的数据范围）。

Bellman-Ford 的其他优化

除了队列优化（SPFA）之外，Bellman-Ford 还有其他形式的优化，这些优化主要是对维护，在部分图上效果明显，但在某些特殊图上，最坏复杂度可能达到指数级。

• 堆优化：将队列换成堆，与 Dijkstra 的区别是允许一个点多次入队。在有负权边的图可能被卡成指数级复杂度。
• 栈优化：将队列换成栈（即将原来的 BFS 过程变成 DFS），在寻找负环时可能具有更高效率，但最坏时间复杂度仍然为指数级。
• LLL 优化：将普通队列换成双端队列，每次将入队结点距离和队内距离平均值比较，如果更大则插入至队尾，否则插入队首。
• SLF 优化：将普通队列换成双端队列，每次将入队结点距离和队首比较，如果更大则插入至队尾，否则插入队首。

更多优化以及针对这些优化的 Hack 方法，可以看 fstqwq 在知乎上的回答 。

Dijkstra 算法

Dijkstra 是个人名（荷兰姓氏）。

IPA:/ˈdikstrɑ/或/ˈdɛikstrɑ/。

这种算法只适用于非负权图，但是时间复杂度非常优秀。

也是用来求单源最短路径的算法。

实现

主要思想是，将结点分成两个集合：已确定最短路长度的，未确定的。

一开始第一个集合里只有 $S$ 。

然后重复这些操作：

1. 对那些刚刚被加入第一个集合的结点的所有出边执行松弛操作。
2. 从第二个集合中，选取一个最短路长度最小的结点，移到第一个集合中。

直到第二个集合为空，算法结束。

时间复杂度：只用分析集合操作， $n$ 次 delete-min ， $m$ 次 decrease-key 。

如果用暴力： $O(n^2 + m) = O(n^2)$ 。

如果用堆 $O(m \log n)$ 。

如果用 priority_queue： $O(m \log m)$ 。

（注：如果使用 priority_queue，无法删除某一个旧的结点，只能插入一个权值更小的编号相同结点，这样操作导致堆中元素是 $O(m)$ 的）

如果用线段树（ZKW 线段树）： $O(m \log n + n) = O(m \log n)$

如果用 Fibonacci 堆： $O(n \log n + m)$ （这就是为啥优秀了）。

等等，还没说正确性呢！

分两步证明：先证明任何时候第一个集合中的元素的 $dist$ 一定不大于第二个集合中的。

再证明第一个集合中的元素的最短路已经确定。

第一步，一开始时成立（基础），在每一步中，加入集合的元素一定是最大值，且是另一边最小值，每次松弛操作又是加上非负数，所以仍然成立。（归纳）（利用非负权值的性质）

第二步，考虑每次加进来的结点，到他的最短路，上一步必然是第一个集合中的元素（否则他不会是第二个集合中的最小值，而且有第一步的性质），又因为第一个集合内的点已经全部松弛过了，所以最短路显然确定了。

H = new heap();
H.insert(S, 0);
dist[S] = 0;
for (i = 1; i <= n; i++) {
  u = H.delete_min();
  for each edge(u, v) {
    if (relax(u, v)) {
      H.decrease_key(v, dist[v]);
    }
  }
}

Johnson 全源最短路径算法

Johnson 和 Floyd 一样，是一种能求出无负环图上任意两点间最短路径的算法。该算法在 1977 年由 Donald B. Johnson 提出。

任意两点间的最短路可以通过枚举起点，跑 $n$ 次 Bellman-Ford 算法解决，时间复杂度是 $O(n^2m)$ 的，也可以直接用 Floyd 算法解决，时间复杂度为 $O(n^3)$ 。

注意到堆优化的 Dijkstra 算法求单源最短路径的时间复杂度比 Bellman-Ford 更优，如果枚举起点，跑 $n$ 次 Dijkstra 算法，就可以在 $O(nm\log m)$ （取决于 Dijkstra 算法的实现）的时间复杂度内解决本问题，比上述跑 $n$ 次 Bellman-Ford 算法的时间复杂度更优秀，在稀疏图上也比 Floyd 算法的时间复杂度更加优秀。

但 Dijkstra 算法不能正确求解带负权边的最短路，因此我们需要对原图上的边进行预处理，确保所有边的边权均非负。

一种容易想到的方法是给所有边的边权同时加上一个正数 $x$ ，从而让所有边的边权均非负。如果新图上起点到终点的最短路经过了 $k$ 条边，则将最短路减去 $kx$ 即可得到实际最短路。

但这样的方法是错误的。考虑下图：

$1 \to 2$ 的最短路为 $1 \to 5 \to 3 \to 2$ ，长度为 $−2$ 。

但假如我们把每条边的边权加上 $5$ 呢？

新图上 $1 \to 2$ 的最短路为 $1 \to 4 \to 2$ ，已经不是实际的最短路了。

Johnson 算法则通过另外一种方法来给每条边重新标注边权。

我们新建一个虚拟节点（在这里我们就设它的编号为 $0$ ）。从这个点向其他所有点连一条边权为 $0$ 的边。

接下来用 Bellman-Ford 算法求出从 $0$ 号点到其他所有点的最短路，记为 $h_i$ 。

假如存在一条从 $u$ 点到 $v$ 点，边权为 $w$ 的边，则我们将该边的边权重新设置为 $w+h_u-h_v$ 。

接下来以每个点为起点，跑 $n$ 轮 Dijkstra 算法即可求出任意两点间的最短路了。

一开始的 Bellman-Ford 算法并不是时间上的瓶颈，若使用 priority_queue 实现 Dijkstra 算法，该算法的时间复杂度是 $O(nm\log m)$ 。

正确性证明

为什么这样重新标注边权的方式是正确的呢？

在讨论这个问题之前，我们先讨论一个物理概念——势能。

诸如重力势能，电势能这样的势能都有一个特点，势能的变化量只和起点和终点的相对位置有关，而与起点到终点所走的路径无关。

势能还有一个特点，势能的绝对值往往取决于设置的零势能点，但无论将零势能点设置在哪里，两点间势能的差值是一定的。

接下来回到正题。

在重新标记后的图上，从 $s$ 点到 $t$ 点的一条路径 $s \to p_1 \to p_2 \to \dots \to p_k \to t$ 的长度表达式如下：

$(w(s,p_1)+h_s-h_{p_1})+(w(p_1,p_2)+h_{p_1}-h_{p_2})+ \dots +(w(p_k,t)+h_{p_k}-h_t)$

化简后得到：

$w(s,p_1)+w(p_1,p_2)+ \dots +w(p_k,t)+h_s-h_t$

无论我们从 $s$ 到 $t$ 走的是哪一条路径， $h_s-h_t$ 的值是不变的，这正与势能的性质相吻合！

为了方便，下面我们就把 $h_i$ 称为 $i$ 点的势能。

上面的新图中 $s \to t$ 的最短路的长度表达式由两部分组成，前面的边权和为原图中 $s \to t$ 的最短路，后面则是两点间的势能差。因为两点间势能的差为定值，因此原图上 $s \to t$ 的最短路与新图上 $s \to t$ 的最短路相对应。

到这里我们的正确性证明已经解决了一半——我们证明了重新标注边权后图上的最短路径仍然是原来的最短路径。接下来我们需要证明新图中所有边的边权非负，因为在非负权图上，Dijkstra 算法能够保证得出正确的结果。

根据三角形不等式，图上任意一边 $(u,v)$ 上两点满足： $h_v \leq h_u + w(u,v)$ 。这条边重新标记后的边权为 $w'(u,v)=w(u,v)+h_u-h_v \geq 0$ 。这样我们证明了新图上的边权均非负。

这样，我们就证明了 Johnson 算法的正确性。

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不同方法的比较

Floyd	Bellman-Ford	Dijkstra	Johnson
每对结点之间的最短路	单源最短路	单源最短路	每对结点之间的最短路
没有负环的图	任意图（可以判定负环是否存在）	非负权图	没有负环的图
$O(N^3)$	$O(NM)$	$O(M\log M)$	$O(NM\log M)$

注：表中的 Dijkstra 算法在计算复杂度时均用 priority_queue 实现。

输出方案

开一个 pre 数组，在更新距离的时候记录下来后面的点是如何转移过去的，算法结束前再递归地输出路径即可。

比如 Floyd 就要记录 pre[i][j] = k; ，Bellman-Ford 和 Dijkstra 一般记录 pre[v] = u 。

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