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裴蜀定理

什么是裴蜀定理？

裴蜀定理，又称贝祖定理（Bézout's lemma）。是一个关于最大公约数的定理。

其内容是：

设 $a,b$ 是不全为零的整数，则存在整数 $x,y$ , 使得 $ax+by=\gcd(a,b)$ .

证明

1. 若任何一个等于 $0$ , 则 $\gcd(a,b)=a$ . 这时定理显然成立。

2. 若 $a,b$ 不等于 $0$ .

   由于 $\gcd(a,b)=\gcd(a,-b)$ ,

   不妨设 $a,b$ 都大于 $0$ , $a\geq b,\gcd(a,b)=d$ .

   对 $ax+by=d$ , 两边同时除以 $d$ , 可得 $a_1x+b_1y=1$ , 其中 $(a_1,b_1)=1$ .

   转证 $a_1x+b_1y=1$ .

   我们先回顾一下辗转相除法是怎么做的，由 $\gcd(a, b) \rightarrow \gcd(b,a\mod b) \rightarrow ...$ 我们把模出来的数据叫做 $r$ 于是，有

   $$\gcd(a_1,b_1)=\gcd(b_1,r_1)=\gcd(r_1,r_2)=\cdots=(r_{n-1},r_n)=1$$

   把辗转相除法中的运算展开，做成带余数的除法，得

   $$\begin{aligned}a_1 &= q_1b+r_1 &(0\leq r_1<b_1) \\ b_1 &= q_2r_1+r_2 &(0\leq r_2<r_1) \\ r_1 &= q_3r_2+r_3 &(0\leq r_3<r_2) \\ &\cdots \\ r_{n-3} &= q_{n-1}r_{n-2}+r_{n-1} \\ r_{n-2} &= q_nr_{n-1}+r_n \\ r_{n-1} &= q_{n+1}r_n\end{aligned}$$

   不妨令辗转相除法在除到互质的时候退出则 $r_n=1$ 所以有（ $q$ 被换成了 $x$ ，为了符合最终形式）

   $$r_{n-2}=x_nr_{n-1}+1$$

   即

   $$1=r_{n-2}-x_nr_{n-1}$$

   由倒数第三个式子 $r_{n-1}=r_{n-3}-x_{n-1}r_{n-2}$ 代入上式，得

   $$1=(1+x_nx_{n-1})r_{n-2}-x_nr_{n-3}$$

   然后用同样的办法用它上面的等式逐个地消去 $r_{n-2},\cdots,r_1$ ,

   可证得 $1=a_1x+b_1y$ . 这样等于是一般式中 $d=1$ 的情况。

应用

Codeforces Round #290 (Div. 2) D. Fox And Jumping

给出 $n$ 张卡片，分别有 $l_i$ 和 $c_i$ 。在一条无限长的纸带上，你可以选择花 $c_i$ 的钱来购买卡片 $i$ ，从此以后可以向左或向右跳 $l_i$ 个单位。问你至少花多少元钱才能够跳到纸带上全部位置。若不行，输出 $-1$ 。

分析该问题，先考虑两个数的情况，发现想要跳到每一个格子上，必须使得这些数通过数次相加或相加得出的绝对值为 $1$ ，进而想到了裴蜀定理。

可以推出：如果 $a$ 与 $b$ 互质，那么一定存在两个整数 $x$ 与 $y$ ，使得 $ax+by=1$ .

由此得出了若选择的卡牌的数通过数次相加或相减得出的绝对值为 $1$ ，那么这些数一定互质，此时可以考虑动态规划求解。

不过可以转移思想，因为这些数互质，即为 $0$ 号节点开始，每走一步求 $\gcd$ （节点号，下一个节点），同时记录代价，就成为了从 $0$ 通过不断 $\gcd$ 最后变为 $1$ 的最小代价。

由于：互质即为最大公因数为 $1$ ， $\gcd(0,x)=x$ 这两个定理，可以证明该算法的正确。选择优先队列优化 Dijkstra 求解。

不过还有个问题，即为需要记录是否已经买过一个卡片，开数组标记由于数据范围达到 $10^9$ 会超出内存限制，可以想到使用 unordered_map （比普通的 map 更快地访问各个元素，迭代效率较低，详见 STL-map ）

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