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位运算

位运算就是基于整数的二进制表示进行的运算。由于计算机内部就是以二进制来存储数据，位运算是相当快的。

常用的运算符共 6 种，分别为与（ & ）、或（ | ）、异或（ ^ ）、取反（ ~ ）、左移（ << ）和右移（ >> ）。

与、或、异或¶

与（ & ）或（ | ）和异或（ ^ ）这三者都是两数间的运算，因此在这里一起讲解。

它们都是将两个整数作为二进制数，对二进制表示中的每一位逐一运算。

运算符	解释
`&`	只有两个对应位都为 1 时才为 1
`\|`	只要两个对应位中有一个 1 时就为 1
`^`	只有两个对应位不同时才为 1

异或运算的逆运算是它本身，也就是说两次异或同一个数最后结果不变，即 $a \text{^} b \text{^} b = a$ 。

举例：

$\begin{aligned} 5 &=(101)_2\\ 6 &=(110)_2\\ 5\&6 &=(100)_2 =\ 4\\ 5|6 &=(111)_2 =\ 7\\ 5\text{^}6 &=(011)_2 =\ 3\\ \end{aligned}$

取反¶

取反是对一个数 $num$ 进行的计算，即单目运算。

~ 把 $num$ 的补码中的 0 和 1 全部取反（0 变为 1，1 变为 0）。有符号整数的符号位在 ~ 运算中同样会取反。

补码：在二进制表示下，正数和 0 的补码为其本身，负数的补码是将其对应正数按位取反后加一。

举例（有符号整数）：

$\begin{aligned} 5&=(00000101)_2\\ \text{~}5&=(11111010)_2=-6\\ -5\text{ 的补码}&=(11111011)_2\\ \text{~}(-5)&=(00000100)_2=4 \end{aligned}$

左移和右移¶

num << i 表示将 $num$ 的二进制表示向左移动 $i$ 位所得的值。

num >> i 表示将 $num$ 的二进制表示向右移动 $i$ 位所得的值。

举例：

$\begin{aligned} 11&=(00001011)_2\\ 11<<3&=(01011000)_2=88\\ 11>>2&=(00000010)_2=2 \end{aligned}$

在 C++ 中，右移操作中右侧多余的位将会被舍弃，而左侧较为复杂：对于无符号数，会在左侧补 0；而对于有符号数，则会用最高位的数（其实就是符号位，非负数为 0，负数为 1）补齐。左移操作总是在右侧补 0。

复合赋值位运算符¶

和 += , -= 等运算符类似，位运算也有复合赋值运算符： &= , |= , ^= , <<= , >>= 。（取反是单目运算，所以没有。）

关于优先级¶

位运算的优先级低于算术运算符（除了取反），而按位与、按位或及异或低于比较运算符（详见运算页面），所以使用时需多加注意，在必要时添加括号。

位运算的应用¶

位运算一般有三种作用：

高效地进行某些运算，代替其它低效的方式。
表示集合。（常用于状压 DP 。）
题目本来就要求进行位运算。

需要注意的是，用位运算代替其它运算方式（即第一种应用）在很多时候并不能带来太大的优化，反而会使代码变得复杂，使用时需要斟酌。（但像“乘 2 的非负整数次幂”和“除以 2 的非负整数次幂”就最好使用位运算，因为此时使用位运算可以优化复杂度。）

乘 2 的非负整数次幂¶

int mulPowerOfTwo(int n, int m) {  // 计算 n*(2^m)
  return n << m;
}

除以 2 的非负整数次幂¶

int divPowerOfTwo(int n, int m) {  // 计算 n/(2^m)
  return n >> m;
}

Warning

我们平常写的除法是向 0 取整，而这里的右移是向下取整（注意这里的区别），即当数大于等于 0 时两种方法等价，当数小于 0 时会有区别，如： -1 / 2 的值为 $0$ ，而 -1 >> 1 的值为 $-1$ 。

判断一个数是不是 2 的正整数次幂¶

bool isPowerOfTwo(int n) { return n > 0 && (n & (n - 1)) == 0; }

对 2 的非负整数次幂取模¶

int modPowerOfTwo(int x, int mod) { return x & (mod - 1); }

取绝对值¶

在某些机器上，效率比 n > 0 ? n : -n 高。

int Abs(int n) {
  return (n ^ (n >> 31)) - (n >> 31);
  /* n>>31 取得 n 的符号，若 n 为正数，n>>31 等于 0，若 n 为负数，n>>31 等于 -1
     若 n 为正数 n^0=n, 数不变，若 n 为负数有 n^(-1)
     需要计算 n 和 -1 的补码，然后进行异或运算，
     结果 n 变号并且为 n 的绝对值减 1，再减去 -1 就是绝对值 */
}

取两个数的最大/最小值¶

在某些机器上，效率比 a > b ? a : b 高。

// 如果 a>=b,(a-b)>>31 为 0，否则为 -1
int max(int a, int b) { return b & ((a - b) >> 31) | a & (~(a - b) >> 31); }
int min(int a, int b) { return a & ((a - b) >> 31) | b & (~(a - b) >> 31); }

判断符号是否相同¶

bool isSameSign(int x, int y) {  // 有 0 的情况例外
  return (x ^ y) >= 0;
}

交换两个数¶

该方法具有局限性

这种方式只能用来交换两个整数，使用范围有限。

对于一般情况下的交换操作，推荐直接调用 algorithm 库中的 std::swap 函数。

void swap(int &a, int &b) { a ^= b ^= a ^= b; }

获取一个数二进制的某一位¶

// 获取 a 的第 b 位，最低位编号为 0
int getBit(int a, int b) { return (a >> b) & 1; }

表示集合¶

一个数的二进制表示可以看作是一个集合（0 表示不在集合中，1 表示在集合中）。比如集合 {1, 3, 4, 8} ，可以表示成 $(100011010)_2$ 。而对应的位运算也就可以看作是对集合进行的操作。

操作	集合表示	位运算语句
交集	$a \cap b$	`a & b`
并集	$a \cup b$	`a\|b`
补集	$\bar{a}$	`~a` （全集为二进制都是 1）
差集	$a \setminus b$	`a & (~b)`
对称差	$a\triangle b$	`a ^ b`

遍历某个集合的子集¶

// 遍历 u 的非空子集
for (int s = u; s; s = (s - 1) & u) {
  // s 是 u 的一个非空子集
}

用这种方法可以在 $O(2^{popcount(u)})$ （ $popcount(u)$ 表示 $u$ 二进制中 1 的个数）的时间复杂度内遍历 $u$ 的子集，进而可以在 $O(3^n)$ 的时间复杂度内遍历大小为 $n$ 的集合的每个子集的子集。（复杂度为 $O(3^n)$ 是因为每个元素都有不在大子集中/只在大子集中/同时在大小子集中三种状态。）

内建函数¶

GCC 中还有一些用于位运算的内建函数：

int __builtin_ffs(int x) ：返回 $x$ 的二进制末尾最后一个 $1$ 的位置，位置的编号从 $1$ 开始（最低位编号为 $1$ ）。当 $x$ 为 $0$ 时返回 $0$ 。
int __builtin_clz(unsigned int x) ：返回 $x$ 的二进制的前导 $0$ 的个数。当 $x$ 为 $0$ 时，结果未定义。
int __builtin_ctz(unsigned int x) ：返回 $x$ 的二进制末尾连续 $0$ 的个数。当 $x$ 为 $0$ 时，结果未定义。
int __builtin_clrsb(int x) ：当 $x$ 的符号位为 $0$ 时返回 $x$ 的二进制的前导 $0$ 的个数减一，否则返回 $x$ 的二进制的前导 $1$ 的个数减一。
int __builtin_popcount(unsigned int x) ：返回 $x$ 的二进制中 $1$ 的个数。
int __builtin_parity(unsigned int x) ：判断 $x$ 的二进制中 $1$ 的个数的奇偶性。

这些函数都可以在函数名末尾添加 l 或 ll （如 __builtin_popcountll ）来使参数类型变为 ( unsigned ) long 或 ( unsigned ) long long （返回值仍然是 int 类型）。例如，我们有时候希望求出一个数以二为底的对数，如果不考虑 0 的特殊情况，就相当于这个数二进制的位数 -1 ，而一个数 n 的二进制表示的位数可以使用 32-__builtin_clz(n) 表示，因此 31-__builtin_clz(n) 就可以求出 n 以二为底的对数。

由于这些函数是内建函数，经过了编译器的高度优化，运行速度十分快（有些甚至只需要一条指令）。

题目推荐¶

Luogu P1225 黑白棋游戏

参考¶

位运算技巧： https://graphics.stanford.edu/~seander/bithacks.html

Other Builtins of GCC： https://gcc.gnu.org/onlinedocs/gcc/Other-Builtins.html

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