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欧拉函数

欧拉函数（Euler's totient function），即 $\varphi(n)$ ，表示的是小于等于 $n$ 和 $n$ 互质的数的个数。

比如说 $\varphi(1) = 1$ 。

当 n 是质数的时候，显然有 $\varphi(n) = n - 1$ 。

利用唯一分解定理，我们可以把一个整数唯一地分解为质数幂次的乘积，

设 $n = \prod_{i=1}^{n}p_i^{k_i}$ ，其中 $p_i$ 是质数，那么 $\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}$

证明：¶

引理（1）：设 $x=p^k$ , 那么 $\varphi(x)=p^{k-1}\times(p-1)$

证明：

容易发现 $x\perp y (y\bmod p \ne 0)$ 。我们试着将 $x$ 划分为长度为 $p$ 的 $\dfrac{p^k}{p}=p^{k-1}$ 段，每一段都有 $p-1$ 个数与 $x$ 互质。所以与 $x$ 互质的数个数即为： $p^{k-1}\times(p-1)$

接下来我们证明 $\varphi(n) = n \times \prod_{i = 1}^s{\dfrac{p_i - 1}{p_i}}$

$\because n=\prod_{i=1}^{n} p_i^{k_i} \\ \begin{align}\therefore \varphi(x) &= \prod_{i=1}^{n} \varphi(p_i^{k_i}) \\&= \prod_{i=1}^{n} (p_i-1)\times {p_i}^{k_i-1}\\&=\prod_{i=1}^{n} {p_i}^{k_i} \times(1 - \frac{1}{p_i})\\&=x~ \prod_{i=1}^{n} (1- \frac{1}{p_i})\end{align}$

欧拉函数的一些性质¶

欧拉函数是积性函数。

积性是什么意思呢？如果有 $\gcd(a, b) = 1$ ，那么 $\varphi(a \times b) = \varphi(a) \times \varphi(b)$ 。

特别地，当 $n$ 是奇数时 $\varphi(2n) = \varphi(n)$ 。
$n = \sum_{d \mid n}{\varphi(d)}$

利用莫比乌斯反演相关知识可以得出。

也可以这样考虑：如果 $\gcd(k, n) = d$ ，那么 $\gcd(\frac{k}{d},\frac{n}{d}) = 1$ 。（ $k < n$ ）

如果我们设 $f(x)$ 表示 $\gcd(k, n) = x$ 的数的个数，那么 $n = \sum_{i = 1}^n{f(i)}$ 。

根据上面的证明，我们发现， $f(x) = \varphi(\frac{n}{x})$ ，从而 $n = \sum_{d \mid n}\varphi(\frac{n}{d})$ 。注意到约数 $d$ 和 $\frac{n}{d}$ 具有对称性，所以上式化为 $n = \sum_{d \mid n}\varphi(d)$ 。
若 $n = p^k$ ，其中 $p$ 是质数，那么 $\varphi(n) = p^k - p^{k - 1}$ 。（根据定义可知）

如何求欧拉函数值¶

如果只要求一个数的欧拉函数值，那么直接根据定义质因数分解的同时求就好了。这个过程可以用Pollard Rho算法优化。

int euler_phi(int n) {
  int m = int(sqrt(n + 0.5));
  int ans = n;
  for (int i = 2; i <= m; i++)
    if (n % i == 0) {
      ans = ans / i * (i - 1);
      while (n % i == 0) n /= i;
    }
  if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);
  return ans;
}

如果是多个数的欧拉函数值，可以利用后面会提到的线性筛法来求得。详见：筛法求欧拉函数

欧拉定理¶

与欧拉函数紧密相关的一个定理就是欧拉定理。其描述如下：

若 $\gcd(a, m) = 1$ ，则 $a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m}$ 。

扩展欧拉定理¶

当然也有扩展欧拉定理

$a^b\equiv \begin{cases} a^{b\bmod\varphi(p)},\,&\gcd(a,\,p)=1\\ a^b,&\gcd(a,\,p)\ne1,\,b<\varphi(p)\\ a^{b\bmod\varphi(p)+\varphi(p)},&\gcd(a,\,p)\ne1,\,b\ge\varphi(p) \end{cases} \pmod p$

证明和习题详见欧拉定理

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