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Dancing Links

精确覆盖问题¶

定义¶

精确覆盖问题 (Exact Cover Problem) 是指给定许多集合 $S_i (1 \le i \le n)$ 以及一个集合 $X$ ，求满足以下条件的无序多元组 $(T_1, T_2, \cdots , T_m)$ ：

(1) $\forall i, j \in [1, m],T_i\bigcap T_j = \varnothing (i \neq j)$

(2) $X = \bigcup\limits_{i = 1}^{m}T_i$

(3) $\forall i \in[1, m], T_i \in \{S_1, S_2, \cdots, S_n\}$

例如，若给出

$\begin{aligned} & S_1 = \{5, 9, 17\} \\ & S_2 = \{1, 8, 119\} \\ & S_3 = \{3, 5, 17\} \\ & S_4 = \{1, 8\} \\ & S_5 = \{3, 119\} \\ & S_6 = \{8, 9, 119\} \\ & X = \{1, 3, 5, 8, 9, 17, 119\} \end{aligned}$

则 $(S_1, S_4, S_5)$ 为一组合法解。

问题转化¶

我们将 $\bigcup\limits_{i = 1}^{n}S_i$ 中的所有数离散化，那么可以得到这么一个模型：

给定一个 01 矩阵，你可以选择一些行，使得最终每列都恰好有一个 1。举个例子，我们对上文中的例子进行建模，可以得到这么一个矩阵：

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

其中第 $i$ 行表示着 $S_i$ ，而这一行的每个数依次表示 $[1 \in S_i],[3 \in S_i],[5 \in S_i],\cdots,[119 \in S_i]$ 。

暴力 1¶

我们可以枚举选择哪些行，最后检查这个方案是否合法。

因为每一行都有选或者不选两种状态，所以枚举行的时间复杂度是 $O(2^n)$ 的；

而每次检查都需要 $O(nm)$ 的时间复杂度。所以总的复杂度是 $O(nm\cdot2^n)$ 。

代码实现

int ok = 0;
for(int state = 0; state < 1 << n; ++state) { // 枚举每行是否被选
  for(int i = 1; i <= n; ++i) if((1 << i - 1) & state)
    for(int j = 1; j <= m; ++j)
      a[i][j] = 1;
  int flag = 1;
  for(int j = 1; j <= m; ++j) for(int i = 1, bo = 0; i <= n; ++i)
    if(a[i][j]) {
      if(bo) flag = 0;
      else bo = 1;
    }
  if(!flag) continue;
  else {
    ok = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) if((1 << i - 1) & state)
        printf("%d ", i);
    puts("");
  }
  memset(a, 0, sizeof(a));
}
if(!ok) puts("No solution.");

暴力 2¶

考虑到 01 矩阵的特殊性质，我们可以把每一行都看做成一个 $m$ 位二进制数。

因此被转化为了

给你 $n$ 个 $m$ 位二进制数，要求选择一些数，使得任意两个数的与都为 0，且所有数的或为 $2^m - 1$ 。 tmp 表示的是截至目前的所有被选择了的 $m$ 位二进制数的或。

因为每一行都有选或者不选两种状态，所以枚举行的时间复杂度为 $O(2^n)$ ；

而每次计算 tmp 都需要 $O(n)$ 的时间复杂度。所以总的复杂度为 $O(n\cdot2^n)$ 。

代码实现

int ok = 0;
for(int i = 1; i <= n; ++i)
  for(int j = m; j >= 1; --j)
    num[i] = num[i] << 1 | a[i][j];
for(int state = 0; state < 1 << n; ++state) {
  int tmp = 0;
  for(int i = 1; i <= n; ++i)  if((1 << i - 1) & state) {
    if(tmp & num[i]) break;
    tmp |= num[i];
  }
  if(tmp == (1 << m) - 1) {
    ok = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) if((1 << i - 1) & state)
      printf("%d ", i);
      puts("");
  }
}
if(!ok) puts("No solution.");

X 算法¶

Donald E. Knuth 提出了 X 算法 (Algorithm X)，其思想与刚才的暴力差不多，但是方便优化。

继续以上文中中提到的例子为载体，我们得到的是一个这样的 01 矩阵：

$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

此时第一行有 $3$ 个 $1$ ，第二行有 $3$ 个 $1$ ，第三行有 $3$ 个 $1$ ，第四行有 $2$ 个 $1$ ，第五行有 $2$ 个 $1$ ，第六行有 $3$ 个 $1$ 。选择第一行，将它删除，并将所有 $1$ 所在的列打上标记；

$\begin{pmatrix} \color{Blue}0 & \color{Blue}0 & \color{Blue}1 & \color{Blue}0 & \color{Blue}1 & \color{Blue}1 & \color{Blue}0 \\ 1 & 0 & \color{Red}0 & 1 & \color{Red}0 & \color{Red}0 & 1 \\ 0 & 1 & \color{Red}1 & 0 & \color{Red}0 & \color{Red}1 & 0 \\ 1 & 0 & \color{Red}0 & 1 & \color{Red}0 & \color{Red}0 & 0 \\ 0 & 1 & \color{Red}0 & 0 & \color{Red}0 & \color{Red}0 & 1 \\ 0 & 0 & \color{Red}0 & 1 & \color{Red}1 & \color{Red}0 & 1 \end{pmatrix}$

选择所有被标记的列，将它们删除，并将这些列中含 $1$ 的行打上标记；

$\begin{pmatrix} \color{Blue}0 & \color{Blue}0 & \color{Blue}1 & \color{Blue}0 & \color{Blue}1 & \color{Blue}1 & \color{Blue}0 \\ 1 & 0 & \color{Blue}0 & 1 & \color{Blue}0 & \color{Blue}0 & 1 \\ \color{Red}0 & \color{Red}1 & \color{Blue}1 & \color{Red}0 & \color{Blue}0 & \color{Blue}1 & \color{Red}0 \\ 1 & 0 & \color{Blue}0 & 1 & \color{Blue}0 & \color{Blue}0 & 0 \\ 0 & 1 & \color{Blue}0 & 0 & \color{Blue}0 & \color{Blue}0 & 1 \\ \color{Red}0 & \color{Red}0 & \color{Blue}0 & \color{Red}1 & \color{Blue}1 & \color{Blue}0 & \color{Red}1 \end{pmatrix}$

选择所有被标记的行，将它们删除；

$\begin{pmatrix} \color{Blue}0 & \color{Blue}0 & \color{Blue}1 & \color{Blue}0 & \color{Blue}1 & \color{Blue}1 & \color{Blue}0 \\ 1 & 0 & \color{Blue}0 & 1 & \color{Blue}0 & \color{Blue}0 & 1 \\ \color{Blue}0 & \color{Blue}1 & \color{Blue}1 & \color{Blue}0 & \color{Blue}0 & \color{Blue}1 & \color{Blue}0 \\ 1 & 0 & \color{Blue}0 & 1 & \color{Blue}0 & \color{Blue}0 & 0 \\ 0 & 1 & \color{Blue}0 & 0 & \color{Blue}0 & \color{Blue}0 & 1 \\ \color{Blue}0 & \color{Blue}0 & \color{Blue}0 & \color{Blue}1 & \color{Blue}1 & \color{Blue}0 & \color{Blue}1 \end{pmatrix}$

这表示表示我们选择了一行，且这一行的所有 $1$ 所在的列不能有其他 $1$ 了 。

于是我们得到了这样的一个新的小 01 矩阵：

$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

此时第一行（原来的第二行）有 $3$ 个 $1$ ，第二行（原来的第四行）有 $2$ 个 $1$ ，第三行（原来的第五行）有 $2$ 个 $1$ 。选择第一行（原来的第二行），将它删除，并将所有 $1$ 所在的列打上标记；

$\begin{pmatrix} \color{Blue}1 & \color{Blue}0 & \color{Blue}1 & \color{Blue}1 \\ \color{Red}1 & 0 & \color{Red}1 & \color{Red}0 \\ \color{Red}0 & 1 & \color{Red}0 & \color{Red}1 \end{pmatrix}$

选择所有被标记的列，将它们删除，并将这些列中含 $1$ 的行打上标记；

$\begin{pmatrix} \color{Blue}1 & \color{Blue}0 & \color{Blue}1 & \color{Blue}1 \\ \color{Blue}1 & \color{Red}0 & \color{Blue}1 & \color{Blue}0 \\ \color{Blue}0 & \color{Red}1 & \color{Blue}0 & \color{Blue}1 \end{pmatrix}$

选择所有被标记的行，将它们删除；

$\begin{pmatrix} \color{Blue}1 & \color{Blue}0 & \color{Blue}1 & \color{Blue}1 \\ \color{Blue}1 & \color{Blue}0 & \color{Blue}1 & \color{Blue}0 \\ \color{Blue}0 & \color{Blue}1 & \color{Blue}0 & \color{Blue}1 \end{pmatrix}$

于是我们得到了一个空矩阵。但是上次删除的行 "1 0 1 1" 不是全 $1$ 的，说明选择有误；

$\begin{pmatrix} \end{pmatrix}$

回溯到步骤 $4$ ，我们考虑选择第二行（原来的第四行），将它删除，并将所有 $1$ 所在的列打上标记；

$\begin{pmatrix} \color{Red}1 & 0 & \color{Red}1 & 1 \\ \color{Blue}1 & \color{Blue}0 & \color{Blue}1 & \color{Blue}0 \\ \color{Red}0 & 1 & \color{Red}0 & 1 \end{pmatrix}$

选择所有被标记的列，将它们删除，并将这些列中含 $1$ 的行打上标记；

$\begin{pmatrix} \color{Blue}1 & \color{Red}0 & \color{Blue}1 & \color{Red}1 \\ \color{Blue}1 & \color{Blue}0 & \color{Blue}1 & \color{Blue}0 \\ \color{Blue}0 & 1 & \color{Blue}0 & 1 \end{pmatrix}$

选择所有被标记的行，将它们删除；

$\begin{pmatrix} \color{Blue}1 & \color{Blue}0 & \color{Blue}1 & \color{Blue}1 \\ \color{Blue}1 & \color{Blue}0 & \color{Blue}1 & \color{Blue}0 \\ \color{Blue}0 & 1 & \color{Blue}0 & 1 \end{pmatrix}$

于是我们得到了这样的一个矩阵：

$\begin{pmatrix} 1 & 1 \end{pmatrix}$

此时第一行（原来的第五行）有 $2$ 个 $1$ ，将它们全部删除，我们得到了一个空矩阵：

$\begin{pmatrix} \end{pmatrix}$

上一次删除的时候，删除的是全 $1$ 的行，因此成功，算法结束。

答案即为我们删除的三行： $1, 4, 5$ 。
强烈建议自己模拟一遍矩阵删除、还原与回溯的过程后再接着阅读下文。

我们可以概括出 X 算法的过程：

对于现在的矩阵 $M$ ，选择并标记一列 $r$ ，将 $r$ 添加至 $S$ 中；
如果尝试了所有的 $r$ 却无解，则算法结束，输出无解。
标记与 $r$ 相关的行 $r_i$ 和 $c_i$ ；
删除所有标记的行和列，得到新矩阵 $M'$ ；
如果 $M'$ 为空，且 $r$ 为全 $1$ 的，则算法结束，输出被删除的行组成的集合 $S$ ；

如果 $M'$ 为空，且 $r$ 不为全 $1$ 的，则恢复与 $r$ 相关的行 $r_i$ 以及列 $c_i$ ，跳转至步骤 $1$ ；

如果 $M'$ 不为空，则跳转至步骤 $1$ ；

不难看出，X 算法需要大量的“删除行”、“删除列”和“恢复行”、“恢复列”的操作。

Donald E. Knuth 想到了用双向十字链表来维护这些操作。

而在双向十字链表上不断跳跃的过程被形象地比喻成“跳跃”，因此被用来优化 X 算法的双向十字链表也被称为“Dancing Links”。

Dancing Links 优化的 X 算法¶

预编译命令¶

#define IT(i, A, x) for (i = A[x]; i != x; i = A[i])

定义¶

既然是双向十字链表，那么一定是有四个指针域的：一个指上方的元素，一个指下方的元素，一个指左边的元素，一个指右边的元素。而每个元素 $i$ 在整个双向十字链表系中都对应着一个格子，因此还要表示 $i$ 所在的列和所在的这样：

dlx-1

是不是非常简单？

而其实大型双向链表其实是长这样的：

dlx-2

每一行都有一个行首指示，每一列都有一个列指示。

行首指示为 first[] ，列指示是我们虚拟出的 $c + 1$ 个结点。

同时，每一列都有一个 siz[] 表示这一列的元素个数。

特殊地， $0$ 号结点无右结点等价于这个 Dancing Links 为空。

static const int MS = 1e5 + 5;
int n, m, idx, first[MS], siz[MS];
int L[MS], R[MS], U[MS], D[MS];
int col[MS], row[MS];

remove 操作¶

$\text{remove(c)}$ 表示在 Dancing Links 中删除第 $c$ 列以及与其相关的行和列。

我们先将 $c$ 删除，此时：

(1) $c$ 左侧的结点的右结点应为 $c$ 的右结点；

(2) $c$ 右侧的结点的左结点应为 $c$ 的左结点。

即 L[R[c]] = L[c], R[L[c]] = R[c]; 。

然后我们要顺着这一列往下走，把走过的每一行都删掉。

如何删掉每一行呢？枚举当前行的指针 $j$ ，此时：

(1) $j$ 上方的结点的下结点应为 $j$ 的下结点；

(2) $j$ 下方的结点的上结点应为 $j$ 的上结点。

注意要修改每一列的元素个数。

即 U[D[j]] = U[j], D[U[j]] = D[j], --siz[col[j]]; 。

因此 $\text{remove(c)}$ 的代码实现就非常简单了：

其中第一个 IT(i, D, c) 等价于 for(i = D[c]; i != c; i = D[i]) ，即在顺着这一列从上往下遍历；

第二个 IT(j, R, i) 等价于 for(j = R[i]; j != i; j = R[j]) ，即在顺着这一行从左往右遍历。

void remove(const int &c) {
  int i, j;
  L[R[c]] = L[c], R[L[c]] = R[c];
  IT(i, D, c) IT(j, R, i) U[D[j]] = U[j], D[U[j]] = D[j], --siz[col[j]];
}

recover 操作¶

$\text{recover(c)}$ 表示在 Dancing Links 中还原第 $c$ 列以及与其相关的行和列。

$\text{recover(c)}$ 即 $\text{remove(c)}$ 的逆操作，在这里就不多赘述了。

值得注意的是， $\text{recover(c)}$ 的所有操作的顺序与 $\text{remove(c)}$ 的操作恰好相反。

在这里给出 $\text{recover(c)}$ 的代码实现：

void recover(const int &c) {
  int i, j;
  IT(i, U, c) IT(j, L, i) U[D[j]] = D[U[j]] = j, ++siz[col[j]];
  L[R[c]] = R[L[c]] = c;
}

build 操作¶

$\text{build(r, c)}$ 表示新建一个大小为 $r \times c$ ，即有 $r$ 行， $c$ 列的 Dancing Links。

我们新建 $c + 1$ 个结点，为列指示。

第 $i$ 个点的左结点为 $i - 1$ ，右结点为 $i + 1$ ，上结点为 $i$ ，下结点为 $i$ 。

特殊地， $0$ 结点的左结点为 $c$ ， $c$ 结点的右结点为 $0$ 。

于是我们得到了一条链：

void build(const int &r, const int &c) {
  n = r, m = c;
  for (int i = 0; i <= c; ++i) {
    L[i] = i - 1, R[i] = i + 1;
    U[i] = D[i] = i;
  }
  L[0] = c, R[c] = 0, idx = c;
  memset(first, 0, sizeof(first));
  memset(siz, 0, sizeof(siz));
}

这样就初始化了一个 Dancing Links。

insert 操作¶

$\text{insert(r, c)}$ 表示在第 $r$ 行，第 $c$ 列插入一个结点。

我们分两种情况来操作：

(1) 如果第 $r$ 行没有元素，那么直接插入一个元素，并使 $first(r)$ 指向这个元素；

(2) 如果第 $r$ 行有元素，那么将这个新元素 用一种奇异的方式 与 $c$ 和 $first(r)$ 连接起来。

对于 (1)，我们可以通过 first[r] = L[idx] = R[idx] = idx; 来实现；

对于 (2)，（我们称这个新元素为 $idx$ ）：

我们把 $idx$ 插入到 $c$ 的正下方，此时：

(1) $idx$ 下方的结点为原来 $c$ 的下结点；

(2) $idx$ 下方的结点（即原来 $c$ 的下结点）的上结点为 $idx$ ;

(3) $idx$ 的上结点为 $c$ ；

(4) $c$ 的下结点为 $idx$ 。

注意记录 $idx$ 的所在列和所在行，以及更新这一列的元素个数。
```
col[++idx] = c, row[idx] = r, ++siz[c];
U[idx] = c, D[idx] = D[c], U[D[c]] = idx, D[c] = idx;
```
强烈建议读者完全掌握这几步的顺序后再继续阅读本文。
我们把 $idx$ 插入到 $first(r)$ 的正右方，此时：

(1) $idx$ 右侧的结点为原来 $first(r)$ 的右结点；

(2) 原来 $first(r)$ 右侧的结点的左结点为 $idx$ ；

(3) $idx$ 的左结点为 $first(r)$ ；

(4) $first(r)$ 的右结点为 $idx$ 。
```
L[idx] = first[r], R[idx] = R[first[r]];
R[first[r]] = idx, L[R[first[r]]] = idx;
```
强烈建议读者完全掌握这几步的顺序后再继续阅读本文。

对于 $\text{insert(r, c)}$ 这个操作，我们可以画图来辅助理解：

留心曲线箭头的方向。

在这里给出 $\text{insert(r, c)}$ 的代码：

void insert(const int &r, const int &c) {
  row[++idx] = r, col[idx] = c, ++siz[c];
  U[idx] = D[idx] = c, U[D[c]] = idx, D[c] = idx;
  if (!first[r])
    first[r] = L[idx] = R[idx] = idx;
  else {
    L[idx] = first[r], R[idx] = R[first[r]];
    L[R[first[r]]] = idx, R[first[r]] = idx;
  }
}

dance 操作¶

$\text{dance()}$ 即为递归地删除以及还原各个行列的过程。

(1) 如果 $0$ 号结点没有右结点，那么矩阵为空，记录答案并返回；

(2) 选择列元素个数最少的一列，并删掉这一列；

(3) 遍历这一列所有有 $1$ 的行，枚举它是否被选择；

(4) 递归调用 $\text{dance()}$ ，如果可行，则返回；如果不可行，则恢复被选择的行；

(5) 如果无解，则返回；

在这里给出 $\text{dance()}$ 的代码实现：

bool dance(int dep) {
  int i, j, c = R[0];
  if (!R[0]) {
    ans = dep;
    return 1;
  }
  IT(i, R, 0) if (siz[i] < siz[c]) c = i;
  remove(c);
  IT(i, D, c) {
    stk[dep] = row[i];
    IT(j, R, i) remove(col[j]);
    if (dance(dep + 1)) return 1;
    IT(j, L, i) recover(col[j]);
  }
  recover(c);
  return 0;
}

其中 stk[] 用来记录答案。

注意我们每次优先选择列元素个数最少的一列进行删除，这样能保证程序具有一定的启发性，使搜索树分支最少。

模板¶

【模板】舞蹈链（DLX）

模板代码

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define rgi register int
#define rgl register ll
#define il inline
const int N = 500 + 10;
int n, m, idx, ans;
int first[N], siz[N], stk[N];
struct DLXNODE {
  int lc, rc, up, dn, r, c;
};
il int read() {
  rgi x = 0, f = 0, ch;
  while(!isdigit(ch = getchar())) f |= ch == '-';
  while(isdigit(ch)) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();
  return f ? -x : x;
}
struct DLX {
  static const int MAXSIZE = 1e5 + 10;
#define IT(i, A, x) for(i = A[x]; i != x; i = A[i])
  int n, m, tot, first[MAXSIZE + 10], siz[MAXSIZE + 10];
  int L[MAXSIZE + 10], R[MAXSIZE + 10], U[MAXSIZE + 10], D[MAXSIZE + 10];
  int col[MAXSIZE + 10], row[MAXSIZE + 10];
  void build(const int &r, const int &c) {
    n = r, m = c;
    for(rgi i = 0; i <= c; ++i) {
      L[i] = i - 1, R[i] = i + 1;
      U[i] = D[i] = i;
    }
    L[0] = c, R[c] = 0, tot = c;
    memset(first, 0, sizeof(first));
    memset(siz, 0, sizeof(siz));
  }
  void insert(const int &r, const int &c) {
    col[++tot] = c, row[tot] = r, ++siz[c];
    D[tot] = D[c], U[D[c]] = tot, U[tot] = c, D[c] = tot;
    if(!first[r]) first[r] = L[tot] = R[tot] = tot;
    else {
      R[tot] = R[first[r]], L[R[first[r]]] = tot;
      L[tot] = first[r], R[first[r]] = tot;
    }
  }
  void remove(const int &c) {
    rgi i, j;
    L[R[c]] = L[c], R[L[c]] = R[c];
    IT(i, D, c) IT(j, R, i)
    U[D[j]] = U[j], D[U[j]] = D[j], --siz[col[j]];
  }
  void recover(const int &c) {
    rgi i, j;
    IT(i, U, c) IT(j, L, i)
    U[D[j]] = D[U[j]] = j, ++siz[col[j]];
    L[R[c]] = R[L[c]] = c;
  }
  bool dance(int dep) {
    if(!R[0]) { ans = dep; return 1; }
    rgi i, j, c = R[0];
    IT(i, R, 0) if(siz[i] < siz[c]) c = i;
    remove(c);
    IT(i, D, c) {
      stk[dep] = row[i];
      IT(j, R, i) remove(col[j]);
      if(dance(dep + 1)) return 1;
      IT(j, L, i) recover(col[j]);
    }
    recover(c);
    return 0;
  }
#undef IT
} solver;
int main() {
  n = read(), m = read();
  solver.build(n, m);
  for(rgi i = 1; i <= n; ++i) for(rgi j = 1; j <= m; ++j) {
    int x = read();
    if(x) solver.insert(i, j);
  } solver.dance(1);
  if(ans)
    for(rgi i = 1; i < ans; ++i) printf("%d ", stk[i]);
  else
    puts("No Solution!");
  return 0;
}

时间复杂度分析¶

DLX 的时间复杂度是 指数级 的，它递归及回溯的次数与矩阵中 $1$ 的个数有关，与矩阵的 $r, c$ 等参数无关。

因此理论复杂度大概在 $O(c^n)$ 左右，其中 $c$ 为某个非常接近于 $1$ 的常数， $n$ 为矩阵中 $1$ 的个数。

但实际情况下 DLX 表现良好，一般能解决大部分的问题。

如何建模¶

DLX 的难点，不全在于链表的建立，而在于建模。

请确保已经完全掌握 DLX 模板后再继续阅读本文。

我们每拿到一个题，应该考虑行和列所表示的意义：

行表示决策，因为每行对应着一个集合，也就对应着选/不选；
列表示状态，因为第 $i$ 列对应着某个条件 $P_i$ 。

对于某一行而言，由于不同的列的值不尽相同，我们 由不同的状态，定义了一个决策 。

数独

解题思路

先考虑决策是什么。

在这一题中，每一个决策可以用形如 $(r, c, w)$ 的有序三元组表示。

注意到 “宫” 并不是决策的参数，因为它 可以被每个确定的 $(r, c)$ 表示。

因此有 $9 \times 9 \times 9 = 729$ 行。

再考虑状态是什么。

我们思考一下 $(r, c, w)$ 这个决将会造成什么影响。记 $(r, c)$ 所在的宫为 $b$ 。

(1) 第 $r$ 行用了一个 $w$ （用 $9 \times 9 = 81$ 列表示）；

(2) 第 $c$ 列用了一个 $w$ （用 $9 \times 9 = 81$ 列表示）；

(3) 第 $b$ 宫用了一个 $w$ （用 $9 \times 9 = 81$ 列表示）；

(4) $(r, c)$ 中填入了一个数（用 $9 \times 9 = 81$ 列表示）。

因此有 $81 \times 4 = 324$ 列，共 $729 \times 4 = 2916$ 个 $1$ 。

至此，我们成功地将 $9 \times 9$ 的数独问题转化成了一个有 $729$ 行， $324$ 列，共 $2916$ 个 $1$ 的精确覆盖问题。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define rgi register int
#define il inline
const int N = 1e6 + 10;
#define JUDGE 0
#define DEBUG 0
int ans[10][10], stk[N];
il int read() {
  rgi x = 0, f = 0, ch;
  while(!isdigit(ch = getchar())) f |= ch == '-';
  while(isdigit(ch)) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();
  return f ? -x : x;
}
struct DLX {
  static const int MAXSIZE = 1e5 + 10;
#define IT(i, A, x) for(i = A[x]; i != x; i = A[i])
  int n, m, tot, first[MAXSIZE + 10], siz[MAXSIZE + 10];
  int L[MAXSIZE + 10], R[MAXSIZE + 10], U[MAXSIZE + 10], D[MAXSIZE + 10];
  int col[MAXSIZE + 10], row[MAXSIZE + 10];
  void build(const int &r, const int &c) {
    n = r, m = c;
    for(rgi i = 0; i <= c; ++i) {
      L[i] = i - 1, R[i] = i + 1;
      U[i] = D[i] = i;
    }
    L[0] = c, R[c] = 0, tot = c;
    memset(first, 0, sizeof(first));
    memset(siz, 0, sizeof(siz));
  }
  void insert(const int &r, const int &c) {
    col[++tot] = c, row[tot] = r, ++siz[c];
    D[tot] = D[c], U[D[c]] = tot, U[tot] = c, D[c] = tot;
    if(!first[r]) first[r] = L[tot] = R[tot] = tot;
    else {
      R[tot] = R[first[r]], L[R[first[r]]] = tot;
      L[tot] = first[r], R[first[r]] = tot;
    }
  }
  void remove(const int &c) {
    rgi i, j;
    L[R[c]] = L[c], R[L[c]] = R[c];
    IT(i, D, c) IT(j, R, i)
    U[D[j]] = U[j], D[U[j]] = D[j], --siz[col[j]];
  }
  void recover(const int &c) {
    rgi i, j;
    IT(i, U, c) IT(j, L, i)
    U[D[j]] = D[U[j]] = j, ++siz[col[j]];
    L[R[c]] = R[L[c]] = c;
  }
  bool dance(int dep) {
    rgi i, j, c = R[0];
    if(!R[0]) {
      for(i = 1; i < dep; ++i) {
        int x = (stk[i] - 1) / 9 / 9 + 1;
        int y = (stk[i] - 1) / 9 % 9 + 1;
        int v = (stk[i] - 1) % 9 + 1;
        ans[x][y] = v;
      }
      return 1;
    }
    IT(i, R, 0) if(siz[i] < siz[c]) c = i;
    remove(c);
    IT(i, D, c) {
      stk[dep] = row[i];
      IT(j, R, i) remove(col[j]);
      if(dance(dep + 1)) return 1;
      IT(j, L, i) recover(col[j]);
    }
    recover(c);
    return 0;
  }
} solver;
int GetId(int row, int col, int num) { return (row - 1) * 9 * 9 + (col - 1) * 9 + num; }
void Insert(int row, int col, int num) {
  int dx = (row - 1) / 3 + 1;
  int dy = (col - 1) / 3 + 1;
  int room = (dx - 1) * 3 + dy;
  int id = GetId(row, col, num);
  int f1 = (row - 1) * 9 + num; // task 1
  int f2 = 81 + (col - 1) * 9 + num; // task 2
  int f3 = 81 * 2 + (room - 1) * 9 + num; // task 3
  int f4 = 81 * 3 + (row - 1) * 9 + col; // task 4
  solver.insert(id, f1);
  solver.insert(id, f2);
  solver.insert(id, f3);
  solver.insert(id, f4);
}
int main() {
#if JUDGE
  freopen(".in", "r", stdin);
  freopen(".out", "w", stdout);
#endif
  solver.build(729, 324);
  for(rgi i = 1; i <= 9; ++i) for(rgi j = 1; j <= 9; ++j) {
    ans[i][j] = read();
    for(rgi v = 1; v <= 9; ++v) {
      if(ans[i][j] && ans[i][j] != v) continue;
      Insert(i, j, v);
    }
  } solver.dance(1);
  for(rgi i = 1; i <= 9; ++i, putchar('\n')) for(rgi j = 1; j <= 9; ++j, putchar(' '))
    printf("%d", ans[i][j]);
  return 0;
}

靶形数独

解题思路

这一题与数独的模型构建 一模一样，主要区别在于答案的更新。

这一题可以开一个权值数组，每次找到一组数独的解时，

每个位置上的数乘上对应的权值计入答案即可。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define il inline
const int oo = 0x3f3f3f3f;
const int N = 1e5 + 10;
const int e[] = { 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6,
                  6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 6,
                  6, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 7, 6,
                  6, 7, 8, 9, 9, 9, 8, 7, 6,
                  6, 7, 8, 9, 10, 9, 8, 7, 6,
                  6, 7, 8, 9, 9, 9, 8, 7, 6,
                  6, 7, 8, 8, 8, 8, 8, 7, 6,
                  6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 6,
                  6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6
                };
int ans = -oo, a[10][10], stk[N];
il int read() {
  int x = 0, f = 0, ch;
  while(!isdigit(ch = getchar())) f |= ch == '-';
  while(isdigit(ch)) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48), ch = getchar();
  return f ? -x : x;
}
int GetWeight(int row, int col, int num) { return num * e[(row - 1) * 9 + (col - 1)]; }
struct DLX {
  static const int MAXSIZE = 1e5 + 10;
#define IT(i, A, x) for(i = A[x]; i != x; i = A[i])
  int n, m, tot, first[MAXSIZE + 10], siz[MAXSIZE + 10];
  int L[MAXSIZE + 10], R[MAXSIZE + 10], U[MAXSIZE + 10], D[MAXSIZE + 10];
  int col[MAXSIZE + 10], row[MAXSIZE + 10];
  void build(const int &r, const int &c) {
    n = r, m = c;
    for(int i = 0; i <= c; ++i) {
      L[i] = i - 1, R[i] = i + 1;
      U[i] = D[i] = i;
    }
    L[0] = c, R[c] = 0, tot = c;
    memset(first, 0, sizeof(first));
    memset(siz, 0, sizeof(siz));
  }
  void insert(const int &r, const int &c) {
    col[++tot] = c, row[tot] = r, ++siz[c];
    D[tot] = D[c], U[D[c]] = tot, U[tot] = c, D[c] = tot;
    if(!first[r]) first[r] = L[tot] = R[tot] = tot;
    else {
      R[tot] = R[first[r]], L[R[first[r]]] = tot;
      L[tot] = first[r], R[first[r]] = tot;
    }
  }
  void remove(const int &c) {
    int i, j;
    L[R[c]] = L[c], R[L[c]] = R[c];
    IT(i, D, c) IT(j, R, i)
    U[D[j]] = U[j], D[U[j]] = D[j], --siz[col[j]];
  }
  void recover(const int &c) {
    int i, j;
    IT(i, U, c) IT(j, L, i)
    U[D[j]] = D[U[j]] = j, ++siz[col[j]];
    L[R[c]] = R[L[c]] = c;
  }
  void dance(int dep) {
    int i, j, c = R[0];
    if(!R[0]) {
      int cur_ans = 0;
      for(i = 1; i < dep; ++i) {
        int cur_row = (stk[i] - 1) / 9 / 9 + 1;
        int cur_col = (stk[i] - 1) / 9 % 9 + 1;
        int cur_num = (stk[i] - 1) % 9 + 1;
        cur_ans += GetWeight(cur_row, cur_col, cur_num);
      }
      ans = std::max(ans, cur_ans);
      return;
    }
    IT(i, R, 0) if(siz[i] < siz[c]) c = i;
    remove(c);
    IT(i, D, c) {
      stk[dep] = row[i];
      IT(j, R, i) remove(col[j]);
      dance(dep + 1);
      IT(j, L, i) recover(col[j]);
    }
    recover(c);
  }
} solver;
int GetId(int row, int col, int num) { return (row - 1) * 9 * 9 + (col - 1) * 9 + num; }
void Insert(int row, int col, int num) {
  int dx = (row - 1) / 3 + 1; // r
  int dy = (col - 1) / 3 + 1; // c
  int room = (dx - 1) * 3 + dy; // room
  int id = GetId(row, col, num);
  int f1 = (row - 1) * 9 + num; // task 1
  int f2 = 81 + (col - 1) * 9 + num; // task 2
  int f3 = 81 * 2 + (room - 1) * 9 + num; // task 3
  int f4 = 81 * 3 + (row - 1) * 9 + col; // task 4
  solver.insert(id, f1);
  solver.insert(id, f2);
  solver.insert(id, f3);
  solver.insert(id, f4);
}
int main() {
  solver.build(729, 324);
  for(int i = 1; i <= 9; ++i) for(int j = 1; j <= 9; ++j) {
    a[i][j] = read();
    for(int v = 1; v <= 9; ++v) {
      if(a[i][j] && v != a[i][j]) continue;
      Insert(i, j, v);
    }
  } solver.dance(1);
  printf("%d", ans == -oo ? -1 : ans);
  return 0;
}

「NOI2005」智慧珠游戏

解题思路

定义：题中给我们的智慧珠的形态，称为这个智慧珠的 标准形态。

显然，我们可以通过改变两个参数 $d$ （表示顺时针旋转 $90^{\circ}$ 的次数）和 $f$ （是否水平翻转）来改变这个智慧珠的形态。

仍然，我们先考虑决策是什么。

在这一题中，每一个决策可以用形如 $(v, d, f, i)$ 的有序五元组表示。

表示第 $i$ 个智慧珠的 标准形态 的左上角的位置，序号为 $v$ ，经过了 $d$ 次顺时针转 $90^{\circ}$ 。

巧合的是，我们可以令 $f = 1$ 时不水平翻转， $f = -1$ 时水平翻转，从而达到简化代码的目的。

因此有 $55 \times 4 \times 2 \times 12 = 5280$ 行。

需要注意的是，因为一些不合法的填充，如 $(1, 0, 1, 4)$ ，

所以在实际操作中，空的智慧珠棋盘也只需要建出 $2730$ 行。

再考虑状态是什么。

这一题的状态比较简单。

我们思考一下， $(v, d, f, i)$ 这个决策会造成什么影响。

(1) 某些格子被占了（用 $55$ 列表示）；

(2) 第 $i$ 个智慧珠被用了（用 $12$ 列表示）。

因此有 $55 + 12 = 67$ 列，共 $5280 \times (5 + 1) = 31680$ 个 $1$ 。

至此，我们成功地将智慧珠游戏转化成了一个有 $5280$ 行， $67$ 列，共 $31680$ 个 $1$ 的精确覆盖问题。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
int numcol, numrow;
int dfn[3000], tx[2], nxt[2], num[50][50], vis[50];
char ans[50][50];
const int f[2] = { -1, 1 };
const int table[12][5][2] = {
  // directions of shapes
  { { 0, 0 }, { 1, 0 }, { 0, 1 } },                       // A
  { { 0, 0 }, { 0, 1 }, { 0, 2 }, { 0, 3 } },             // B
  { { 0, 0 }, { 1, 0 }, { 0, 1 }, { 0, 2 } },             // C
  { { 0, 0 }, { 1, 0 }, { 0, 1 }, { 1, 1 } },             // D
  { { 0, 0 }, { 1, 0 }, { 2, 0 }, { 2, 1 }, { 2, 2 } },   // E
  { { 0, 0 }, { 0, 1 }, { 1, 1 }, { 0, 2 }, { 0, 3 } },   // F
  { { 0, 0 }, { 1, 0 }, { 0, 1 }, { 0, 2 }, { 1, 2 } },   // G
  { { 0, 0 }, { 1, 0 }, { 0, 1 }, { 1, 1 }, { 0, 2 } },   // H
  { { 0, 0 }, { 0, 1 }, { 0, 2 }, { 1, 2 }, { 1, 3 } },   // I
  { { 0, 0 }, { -1, 1 }, { 0, 1 }, { 1, 1 }, { 0, 2 } },  // J
  { { 0, 0 }, { 1, 0 }, { 1, 1 }, { 2, 1 }, { 2, 2 } },   // K
  { { 0, 0 }, { 1, 0 }, { 0, 1 }, { 0, 2 }, { 0, 3 } },   // L
};
const int len[12] = { 3, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5 };
const int getx[] = { 0,  1,  2,  2,  3,  3,  3,  4,  4,  4,  4,  5,  5,  5,  5,  5,  6,  6,  6,  6,  6,
                     6,  7,  7,  7,  7,  7,  7,  7,  8,  8,  8,  8,  8,  8,  8,  8,  9,  9,  9,  9,  9,
                     9,  9,  9,  9,  10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11,
                     11, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 13,
                     13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 14
                   };
const int gety[] = { 0,  1, 1, 2,  1, 2, 3, 1, 2, 3, 4,  1,  2,  3,  4,  5, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 1, 2, 3,  4,
                     5,  6, 7, 1,  2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,  1,  2,  3,  4,  5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5,  6,
                     7,  8, 9, 10, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,  8,  9,  10, 11, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
                     12, 1, 2, 3,  4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 1,  2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
                   };
struct DLX {
  static const int MS = 1e5 + 10;
#define IT(i, A, x) for (i = A[x]; i != x; i = A[i])
  int n, m, tot, first[MS], siz[MS];
  int L[MS], R[MS], U[MS], D[MS];
  int col[MS], row[MS];
  void build(const int &r, const int &c) {
    n = r, m = c;
    for (rgi i = 0; i <= c; ++i) {
      L[i] = i - 1, R[i] = i + 1;
      U[i] = D[i] = i;
    }
    L[0] = c, R[c] = 0, tot = c;
    memset(first, 0, sizeof(first));
    memset(siz, 0, sizeof(siz));
  }
  void insert(const int &r, const int &c) {
    col[++tot] = c, row[tot] = r, ++siz[c];
    D[tot] = D[c], U[D[c]] = tot, U[tot] = c, D[c] = tot;
    if (!first[r])
      first[r] = L[tot] = R[tot] = tot;
    else
      R[tot] = R[first[r]], L[R[first[r]]] = tot, L[tot] = first[r], R[first[r]] = tot;  // !
  }
  void remove(const int &c) {
    rgi i, j;
    L[R[c]] = L[c], R[L[c]] = R[c];
    IT(i, D, c) IT(j, R, i) U[D[j]] = U[j], D[U[j]] = D[j], --siz[col[j]];
  }
  void recover(const int &c) {
    rgi i, j;
    IT(i, U, c) IT(j, L, i) U[D[j]] = D[U[j]] = j, ++siz[col[j]];
    L[R[c]] = R[L[c]] = c;
  }
  bool dance() {
    if (!R[0])
      return 1;
    rgi i, j, c = R[0];
    IT(i, R, 0) if (siz[i] < siz[c]) c = i;
    remove(c);
    IT(i, D, c) {
      if (col[i] <= 55)
        ans[getx[col[i]]][gety[col[i]]] = dfn[row[i]] + 'A';
      IT(j, R, i) {
        remove(col[j]);
        if (col[j] <= 55)
          ans[getx[col[j]]][gety[col[j]]] = dfn[row[j]] + 'A';
      }
      if (dance())
        return 1;
      IT(j, L, i) recover(col[j]);
    }
    recover(c);
    return 0;
  }
#undef IT
} solver;
int main() {
  for (rgi i = 1; i <= 10; ++i) scanf("%s", ans[i] + 1);
  for (rgi i = 1; i <= 10; ++i)
    for (rgi j = 1; j <= i; ++j) {
      if (ans[i][j] != '.')
        vis[ans[i][j] - 'A'] = 1;
      num[i][j] = ++numcol;
    }
  solver.build(2730, numcol + 12);
  /*******build*******/
  for (rgi id = 0, op; id < 12; ++id) {  // every block
    for (++numcol, op = 0; op <= 1; ++op) {
      for (rgi dx = 0; dx <= 1; ++dx) {
        for (rgi dy = 0; dy <= 1; ++dy) {
          for (tx[0] = 1; tx[0] <= 10; ++tx[0]) {
            for (tx[1] = 1; tx[1] <= tx[0]; ++tx[1]) {
              bool flag = 1;
              for (rgi k = 0; k < len[id]; ++k) {
                nxt[op] = tx[op] + f[dx] * table[id][k][0];
                nxt[op ^ 1] = tx[op ^ 1] + f[dy] * table[id][k][1];
                if (vis[id]) {
                  if (ans[nxt[0]][nxt[1]] != id + 'A') {
                    flag = 0;
                    break;
                  }
                } else if (ans[nxt[0]][nxt[1]] != '.') {
                  flag = 0;
                  break;
                }
              }
              if (!flag)
                continue;
              dfn[++numrow] = id;
              solver.insert(numrow, numcol);
              for (rgi k = 0; k < len[id]; ++k) {
                nxt[op] = tx[op] + f[dx] * table[id][k][0];
                nxt[op ^ 1] = tx[op ^ 1] + f[dy] * table[id][k][1];
                solver.insert(numrow, num[nxt[0]][nxt[1]]);
              }
            }
          }
        }
      }
    }
  }
  /********end********/
  if (!solver.dance())
    puts("No solution");
  else
    for (rgi i = 1; i <= 10; ++i, puts(""))
      for (rgi j = 1; j <= i; ++j) putchar(ans[i][j]);
  return 0;
}

练习¶

总结¶

DLX 能用来解决精确覆盖问题，适当地建立起模型后能解决一些大模拟。

References¶

[1]英雄哪里出来的《夜深人静写算法（九）- Dancing Links X（跳舞链）》
[2]万仓一黍的《跳跃的舞者，舞蹈链（Dancing Links）算法——求解精确覆盖问题》
[3]zhangjianjunab 的《DLX 算法一览》
[4]静听风吟。的《搜索：DLX 算法》
[5]刘汝佳，陈锋的《算法竞赛进阶指南》

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Dancing Links

精确覆盖问题¶

定义¶

问题转化¶

暴力 1¶

暴力 2¶

X 算法¶

Dancing Links 优化的 X 算法¶

预编译命令¶

定义¶

remove 操作¶

recover 操作¶

build 操作¶

insert 操作¶

dance 操作¶

模板¶

时间复杂度分析¶

如何建模¶

练习¶

总结¶

References¶

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